Twierdzenie sinusów
272 jpg' alt='Twierdzenie_sinus%C3%B3w'>
Twierdzenie sinusów, wzór sinusów, twierdzenie SnelliusaW dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest matematyka .php'>stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.Zależność tę można zapisać następująco:Wystarczy udowodnić jedną z równości, np. równość , gdyż dowody pozostałych są analogiczne. Podanej równości równoważna jest następująca:Na trójkącie ΔABC opisujemy okrąg i rozważamy trzy przypadki.Kreślimy średnicę AD i rozważamy pomocniczy trójkąt ΔABD. Kąt jest prosty, więc oznaczając kąt przez δ otrzymujemyPonieważ AB = c, AD = 2R oraz δ = γ (są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku), prawdziwa jest dowodzona równość.Postępując tak jak w przypadku 2 otrzymujemy równośćNa mocy twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy . Zatem . Także w tym przypadku dowodzona równość okazuje się prawdziwa.W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest matematyka .php'>stały Zgodnie ze znanym wzorem na pole trójkąta:Dzieląc każde z wyrażeń przez i mnożąc przez 2 dostaniemyBiorąc odwrotności każdego z wyrażeń dostaniemy tezę.Opuśćmy wysokość z wierzchołka wspólnego dla boków a,c. WówczasRugując z obu równań zmienną h dostaniemy:czyli, dzieląc teoria_kategorii .php'>obie strony przez , dostaniemyZmieniając wierzchołki, z których opuszczamy wysokość dostaniemy pozostałe dwie równości.Używając twierdzenia sinusów można udowodnić:Omawiane wyżej twierdzenie sinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej czyli tzw. geometrii płaskiej i ma swoje odpowiedniki w geometriach nieeuklidesowychW geometrii eliptycznej mamy wzór:Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii).Analogicznie w geometrii hiperbolicznej przyjąwszy tzw. metrykę naturalną dostaniemy:Tutaj a,b,c są długościami odcinków α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka to zamiast sin używamy sinh.Spostrzeżenie, że umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz , to otrzymamy następujący wzór:ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym . Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.Kąt między dwiema prostymi sferycznymi czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x,y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y czyli cosinusowi długości tego odcinka CzyliJeśli mamy dwa punkty na sferze będące końcami centralnych wektorów x, y to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako . Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y czyli sinusowi długości odcinkaRozważmy wyrażenie:Z jednej strony powyższy iloczyn wektorowy ma długość równą iloczynowi długości obu czynników oraz sinusa kąta między obu czynnikami czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,y. Ten ostatni kąt jest oczywiście równy α. Czyli:Z drugiej strony na mocy znanej własności dostajemy:boStądPonieważ rys 2 dla iloczynu mieszanego zachodzigdzie hb jest długością wysokości trójkąta opuszczonej na bok b więc dostajemy zależnośća po uproszczeniuProwadząc analogiczne rozważania dla wyrażeniadostaniemy zależnośćRugując z obu zależności trygonometrycznych sinhb dostaniemyAnalogicznie dowodzimy zależnościJeśli a,b,c,a',b',c' są długościami krawędzi czworościanu przy czym primowane leżą naprzeciw odpowiednich nieprimowanych, oraz jeśli α,β,γ,α',β',γ' są kątami krawiędziowymi przy analogicznych krawędziach toNiech ... oznaczają kąty złożone z dowolnych nie leżących naprzeciw siebie krawędzi.Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta sferycznego przy wierzchołku, w którym zbiegają się boki a,b,c':podobnie dla wierzchołka, w którym zbiegają się boki a',b',c':Mnożąc stronami dwie powyższe równości dostaniemy:Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta, którego bokami są a',b,c':podobnie dla trójkąta, którego bokami są a,b',c':Mnożąc stronami dwie powyższe równości dostaniemy:I na koniec, mnożąc stronami równości 1 , 2 dostaniemyZmieniając parę przeciwnych krawędzi czworościanu na inną parę dostaniemy pozostałe dwie równości tezy.