Środek odcinka

Środek odcinkapunkt odcinka równo oddalony od jego końców; w geometrii euklidesowej jest to zarazem jego środek symetrii i miejsce przecięcia obydwu osi symetrii danego odcinka Pierwsza „szkolna” metoda korzysta z własności geometrii płaszczyzny matematyka .php'>przestrzeni euklidesowej kolejne dwie są poprawne również w geometrii afinicznej.Skonstruować symetralną odcinka Jego środek wyznaczony jest jako punkt przecięcia odcinka i jego symetralnej.Zgodnie z rysunkiem obok Punkt C' jest szukanym środkiem odcinka AB.Zgodnie z oznaczeniami na rysunku Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest szukanym środkiem odcinka AB.W tradycyjnym rozumieniu środek odcinka jest pojęciem metrycznym, dlatego można go definiować nie tylko w geometrii euklidesowej ale także w innych metrycznych geometriach, takich jak geometria hiperboliczna czy eliptyczna, przy czym w tej drugiej każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów ma dwa środki. We wspomnianych trzech geometriach pojęcie to ma ścisły związek z symetralną odcinka Konstrukcje II i III pokazują, że środek odcinka można postrzegać jako pojęcie geometrii afinicznej. Mimo iż związek środka odcinka z jego symetralną zanika, to każdy odcinek posiada dokładnie jeden środek, ponieważ każda prosta jest przestrzenią metryczną W zamian środek ma silny związkiem z równoległobokiem i jego fundamentalną własnością wyrażaną popularnie jako „przekątne równoległoboku połowią się”, a ściśleCzworobok ABCD jest równoległobokiem odcinki AB,CD są równoległe i równej długości) wtedy i tylko wtedy, gdy punkty przecięcia odcinka AD i BC pokrywają się.Powyższa równoważność oznacza, że pojęcie środka można zdefiniować za pomocą pojęcia równoległości i odwrotnie Środek odcinka jest niezmiennikiem izometrii; w przypadku geometrii euklidesowej prawdziwe jest stwierdzenie ogólniejsze: środek odcinka jest niezmiennikiem podobieństw W pierwszym przypadku oznacza to, że izometria zachowuje środek odcinka (obrazem środka odcinka jest środek odcinka , w drugim, iż podobieństwa zachowują środek odcinka Środek odcinka jest niezmiennikiem dowolnego przekształcenia afinicznego (powinowactwa).Ponieważ matematyka .php'>przestrzeń afiniczna nie musi być przestrzenią metryczną ani matematyka .php'>przestrzenią unitarną, to do wprowadzenia pojęcie środka odcinka nie są potrzebne pojęcia odległości (metryki) i kąta prostego (iloczynu skalarnego)). Co więcej nie jest wymagane nawet pojęcie wnętrza odcinka co jest równoważne brakowi porządku liniowego w ciele nad którym zbudowana jest matematyka .php'>przestrzeń liniowa stowarzyszona z daną matematyka .php'>przestrzenią afiniczną. Konieczne jest jednak, aby wspomniane matematyka .php'>ciało było charakterystyki większej od 2 Proste w matematyka .php'>przestrzeni afinicznej dane są jako jednowymiarowe podprzestrzenie afiniczne, czyli kombinacje afiniczne dwóch wektorów o współczynnikach z danego matematyka .php'>ciała Wówczas dla dowolnych dwóch punktów a,b środkiem wektora odcinka skierowanego) jest punkt .Wynika stąd, że środkiem odcinka o końcach (x1,y1) oraz (x2,y2) jest punkt o współrzędnych .W dowolnym niepustym zbiorze G pojęcia środka odcinka można można wprowadzić aksjomatycznie. Operację środka definiuje się wtedy jako działanie dwuargumentowe określone na zbiorze G spełniające następujące aksjomaty dla :Strukturę nazywa się algebrą środka .Z podanych aksjomatów dla dowolnych wynikają następujące własności:Niezmienniczość operacji środka względem przekształcenia afinicznego f (odpowiednio zdefiniowanego w algebrze środka) ma postaćco oznacza, że przekształcenia afinicznehomomorfizmami matematyka .php'>przestrzeni afinicznych.Relacja określona na wzoremjest relacją równoważności. Klasy abstrakcji względem tej relacji tworzą grupę przemienną, której elementy można traktować jak grupę wektorów swobodnych. Do tego, aby G była matematyka .php'>przestrzenią afiniczną brakuje tylko mnożenia przez skalar Uogólnienie pojęcia środek odcinka można w pewnym sensie wprowadzić w geometrii rzutowej. Niech s będzie ustaloną prostą płaszczyzny rzutowej do której nie należą dowolnie wybrane dwa punkty A,B. Wówczas s-środek X odcinka AB definiuje się jako czwarty punkt harmoniczny spełniający H(X,Y;A,B), gdzie (zob. czworobok zupełny).Tak określony s-środek zachowuje niemal wszystkie własności środka afinicznego. W powyższy sposób wprowadza się geometrię afiniczną na podstawie geometrii rzutowej: wystarczy wybraną prostą s uznać za horyzont, czyli prostą niewłaściwą.