Funkcja odwrotna

Funkcja_odwrotna
Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.W matematyce istnieją dwie konwencje rozumienia czym jest zbiór Y przy zapisiePierwsza z nich zakłada, że w domyśle, zbiór wartości funkcji f zawarty jest w zbiorze Y, druga z nich zakłada, że to właśnie Y jest całym zbiorem wartości . W praktyce matematycznej pierwsza konwencja jest popularniejsza. Jednak poniżej w definicji funkcji odwrotnej zakłada się, że Y jest całym zbiorem wartości funkcji f (tzn., że f jest na zbiór Y).Funkcję (por. uwaga) nazywamy odwracalną, gdy istnieje taka funkcja taka, żeInnymi słowy g jest taką funkcją, że złożenia oraz są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze X i Y. Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do f i oznaczamy symbolem f − 1 Bezpośrednio z definicji wynika, że jeśli f jest funkcją odwracalną to jest różnowartościowa dlatego oraz ze względu na uwagę powyżej, funkcję odwracalną definiuje się jako funkcję różnowartościową i "na". Wówczas oczywiście każda funkcja różnowartościowa jest odwracalna jeśli myślimy o jej obrazie jako przeciwdziedzinie.Oznaczenia f − 1(x nie należy mylić z symbolem .Nie każda funkcja ma do niej odwrotną. Istnieje jednak twierdzenie ułatwiające sprawdzenie, czy dana funkcja jest odwracalna:Poniższe twierdzenie ma raczej znaczenie teoretyczne, jednak stanowi podpowiedź, w jaki sposób należy szukać funkcji odwrotnej:Wyznaczenie funkcji odwrotnej g do danej f polega na rozwiązaniu równaniawzględem niewiadomej x. Rozwiązanie, czylito poszukiwana funkcja odwrotna Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do f jest f − 1 to odwrotną do f − 1 jest funkcja f. Symbolicznie:Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest matematyka .php'>inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru Funkcja odwrotna złożenia funkcji dana jest wzoremNależy zwrócić uwagę na zamieniony porządek f i g: aby odczynić działanie g następującego po f należy najpierw odczynić f, a następnie odczynić g.Jeżeli X jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na X jest swoją własną odwrotnością:Ogólniej, jeżeli funkcja jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie jest równe . Takie funkcje nazywa się matematyka .php'>inwolucjami W przypadku odwzorowań liniowych definicję odwzorowania odwrotnego zapisuje się .W skończeniewymiarowych matematyka .php'>przestrzeniach wektorowych pociąga za sobą : Dowód:Twierdzenie to nie jest prawdziwe w matematyka .php'>przestrzeniach nieskończenie wymiarowych. Np. dla odwzorowań określonych na matematyka .php'>przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomiany: ale ST zeruje wielomiany matematyka .php'>stałe Podobnie w matematyka .php'>przestrzeniach skończenie wymiarowych nie istnieją operatory takie, że , ale własność te mają operatory różniczkowania wielomianu i mnożenia wielomianu przez x .