Funkcja ciągła

dziedzina • obraz • przeciwobrazbłędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζτ • σ • Möbiusa • φ • π • Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie” Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej może być postrzegana jako ciągła, jeżeli jej wykres można „narysować bez odrywania ołówka od papieru” (bez ograniczeń w czasie lub matematyka .php'>przestrzeni .Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości: jedna z nich podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana popularnie epsilonowo-deltową z racji przyjętych zwyczajowych oznaczeń; druga zaproponowana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową. Niech oraz .Jeżeli f spełnia dla ustalonego warunekto jest ona ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie x. Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego , czylito mówimy, że jest ciągła (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze M.Funkcja f jest ciągła w sensie Heinego w punkcie , jeśli dla każdego ciągu (xn) liczb z M, który jest zbieżny do x ciąg wartości jest zbieżny do f(x), czyliWarto zauważyć, że z teoria_kategorii .php'>obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie są związane odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie Używając pojęcia granicy funkcji możemy powiedzieć, że funkcja f jest ciągła w punkcie , gdy albo x nie jest punktem skupienia zbioru M, albo Należy także zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dla danego zbioru. Przesunięcie pierwszego kwantyfikatora na trzecią pozycję, mianowicieprowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej teoria_kategorii .php'>Obie definicje (Cauchy'ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego należy dodać warunek dla y, mianowicie y < x, aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do x wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.Rozpatrujemy funkcje .W przestrzeniach metrycznych i matematyka .php'>przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy'ego zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej matematyka .php'>przestrzeni metryką lub normą różnicy.Dla przestrzeni metrycznych (X,dX) oraz (Y,dY) funkcja jest ciągła, jeśli prawdziwy jest wzórPowyższą implikację można zapisać również w postacialbogdzie są kulami odpowiednio w , a w nawiasach po oznaczeniu kuli piszy się jej środek i promień.Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii Niech (X,τX) oraz (Y,τY) będą przestrzeniami topologicznymi a przekształceniem między nimi. Powiemy, że f jest ciągłe, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X, co zapisuje się następująco:Równoważnie można wymagać, aby przeciwobraz zbioru domkniętego był domknięty. Jeśli matematyka .php'>przestrzenie są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy'ego podaną wyżej.Jeśli funkcja jest ciągła, to f na swojej dziedzinieNiech (X,τX) i (Y,τY) będą przestrzeniami topologicznymi oraz .Aby sprawdzić ciągłość funkcji f, nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej matematyka .php'>przestrzeni lecz wystarczy to zrobić dla pewnej jej bazy :Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja f jest ciągła, jeżeli zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:Przy przekształceniach ciągłych zachowywane są takie własności matematyka .php'>przestrzeni jak:Jeśli zbiór D jest gęsty w X, f i g są ciągłe, oraz , to f = g.Niech oraz będzie teoria_kategorii .php'>produktem Tichonowa, wówczas dla przekształceniejest ciągłym rzutem na j-tą współrzędną.W topologii i analizie funkcjonalnej często bada się matematyka .php'>przestrzeń której elementamifunkcje ciągłe z pewnej przestrzeni topologicznej X w inną Y. Taka matematyka .php'>przestrzeń jest oznaczana symbolem i jest szczególnym przypadkiem matematyka .php'>przestrzeni funkcyjnej.Jednym z najbardziej popularnych przykładów są matematyka .php'>przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z X w i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym teoria_kategorii .php'>obiektem topologicznym Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną matematyka .php'>przestrzeni (X,τX).Na matematyka .php'>przestrzeni rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając topologie:Niech oraz będą porządkami zupełnymi, wtedy funkcja jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn:Niech będzie podzbiorem skierowanym, wtedy