Funkcja Cantora

25-6 jpg' alt='Funkcja_Cantora'>
Funkcję Cantora c : → definiujemy następująco:Przykłady:(Zerknięcie na następujący wykres może być łatwiejszym sposobem zrozumienia tej definicji niż tylko jej czytanie. Funkcja Cantora jest wyzwaniem dla naiwnego intuicyjnego pojmowania ciągłości funkcji oraz pojęcia matematyka .php'>miary Pomimo iż jest ona wszędzie ciągła i niemal wszędzie posiada zerową różniczkę, c przechodzi od 0 do 1 w matematyka .php'>miarę jak x przechodzi od 0 do 1 i przyjmuje każdą wartość pośrednią. Funkcja Cantora jest najczęściej podawanym przykładem funkcji rzeczywistej która jest jednostajnie ciągła (a więc ciągła) lecz nie absolutnie ciągła. Nie posiada ona bowiem różniczki w żadnym punkcie zbioru Cantora, jest matematyka .php'>stała w matematyka .php'>przedziałach postaci (0.x1x2x3...xn022222..., 0.x1x2x3...xn200000...), a każdy punkt nienależacy do zbioru Cantora leży w jednym z tych matematyka .php'>przedziałów Tak więc różniczka jest równa 0 poza zbiorem Cantora. Rozszerzając wartość 0 zero z lewej i 1 z prawej, funkcja ta staje się funkcją rozsiewu prawdopodobieństwa zmiennej przypadkowej równomiernie rozłożonej nad zbiorem Cantora. Ten rozsiew prawdopodobieństwa nie posiada żadnej dyskretnej składowej, tzn nie kumuluje dodatniego prawdopodobieństwa w żadnym miejscu. Nie posiada on również żadnej części którą można by przedstawić za pomocą funkcji gęstości. Całkując dowolną nadaną funkcję gęstości prawdopodobieństw, która nie jest niemal wszędzie równa zer przez dowolny matematyka .php'>przedział da nam dodatnie prawdopodobieństwo dla pewnego matematyka .php'>przedziału któremu rozsiew przydziela prawdopodobieństwo zerowe. Patrz rozsiew Cantora. Funkcja Cantora jest klasycznym przykładem funkcji osobliwej Poniżej określamy ciąg funkcji {ƒn} na matematyka .php'>przedziale jednostkowym zbieżny do funkcji Cantora Niech ƒ0(x) = x.Następnie dla każdej liczby całkowitej n ≥ 0, kolejną funkcję ƒn 1(x wyrażamy za pomocą ƒn(x) jak następuje:Niech ƒn 1(x  = 0.5 × ƒn 3x ,  dla 0 ≤ x ≤ 1/3 ;Niech ƒn 1(x  = 0.5,  dla 1/3 ≤ x ≤ 2/3 ;Niech ƒn 1(x  = 0.5 + 0.5 × ƒn(3 x − 2 ,  dla 2/3 ≤ x ≤ 1 Powyższe trzy przyporządkowania są zgodne w punktach granicznych 1/3 oraz 2/3 gdyż bowiem ƒn(0) = 0 i ƒn 1  = 1 dla każdego n, poprzez indukcję. Można sprawdzić, że ƒn jest zbieżne punktowo do funkcji Cantora zdefiniowanej powyżej. Ponadto zbieżność ta jest jednostajna. W szczególności rozdzielając na trzy przypadki zgodnie z definicją dla ƒn 1 dostrzegamy, żeJeśli ƒ oznacza funkcję graniczną, to wnioskujemy że dla każdego n ≥ 0,Ponadto zwracamy uwagę na to że wybór funkcji początkowej nie jest istotny, zakładając że ƒ0(0) = 0, ƒ0 1  = 1 oraz ƒ0 jest ograniczone Funkcja Cantora jest blisko spokrewniona ze zbiorem Cantora. Zbiór Cantora C może zostać określony jako ten zbiór liczb matematyka .php'>przedziału , które nie zawierają cyfry 1 w rozwinięciu 3-kowym. Okazuje się że zbiór Cantora jest fraktałem z (nieprzeliczalnie) nieskończenie wieloma punktami (zero-wymiarową pojemnością), lecz długości zerowej (jedno-wymiarową pojemnością). Tyko D-wymiarowa pojemność HD (w sensie miary Hausdorffa przyjmuje wartość skończoną, gdy D = log 2 / log 3 jest wymiarem fraktalnym C. Można by zdefiniować funkcję Cantora jako D-wymiarową pojemność matematyka .php'>przedziałów zbioru CantoraNiechbędzie dwójkowym rozwinięciem liczby rzeczywistej 0 ≤ y ≤ 1 za pomocą cyfr dwójkowych bk = {0 1} Rozpatrzmy następującą funkcjęDla z =  1/3 funkcja odwrotna do funkcji x = 2/3  C1 3(y to funkcja Cantora Tak więc, y = y(x) jest funkcją Cantora Ogólnie dla każdego z <  1/2 Cz(y) wygląda jak funkcja Cantora przewrócona na bok, przy czym szerokość stopni rośnie wraz z tym jak z zbliża się do zera.Funkcja pytajnika Minkowskiego z wyglądu przypomina funkcję Cantora robiąc wrażenie "wygładzonej" funkcji Cantora Można ją skonstruować przechodząc z ciągłego rozwinięcia podziałowego do rozwinięcia dwójkowego, tak jak funkcję Cantor można skonstruować przechodząc z trójkowego rozwinięcia na dwójkowe rozwinięcie. Funkcja pytajnika posiada tą ciekawą cechę że jej różniczka zanika we wszystkich punktach odpowiadających liczbom rzeczywistym