Filtr (matematyka)

Filtr to pojęcie używane w matematyce głównie w teorii porządków częściowych, teorii algebr Boole a, topologii i teorii mnogości Wśród realizacji najogólniejszej definicji matematyka .php'>filtru (formułowanej dla porządków częściowych) są matematyka .php'>filtry jako rodziny zbiorów. Odpowiednią intuicją wtedy jest, że matematyka .php'>filtr to rodzina zbiorów w jakimś sensie dużych. Wydaje się naturalnym, że pojęcie dużych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności:Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów dużych) jest właśnie matematyka .php'>filtrem zbiorów, patrz poniżej.Niech będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór jest matematyka .php'>filtrem w zbiorze uporządkowanym P jeśli następujące warunki są spełnione matematyka .php'>Filtr F jest właściwy jeśli dodatkowoJeśli porządek jest półkratą dolną (dla każdych p, q istnieje kres dolny ), to warunki (ii)+(iii) są równoważne z warunkiemPonieważ algebra Boole a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja matematyka .php'>filtru na porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole'owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję matematyka .php'>filtru trochę inaczej.Niech będzie algebrą Boole a. Powiemy, że zbiór F jest matematyka .php'>filtrem w algebrze Boole a jeśli następujące warunki są spełnione matematyka .php'>Filtr F jest właściwy jeśli dodatkowoNależy podkreślić, że powyższa definicja i ta przeniesiona z porządków częściowych są równoważne.Szczególnym przypadkiem algebry Boole a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru S (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów . Zatem sformułowana powyżej definicja matematyka .php'>filtru w algebrze Boole a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru S. Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że matematyka .php'>filtr to rodzina dużych podzbiorów S.Niech S będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina F podzbiorów zbioru S jest matematyka .php'>filtrem podzbiorów zbioru S jeśli następujące warunki są spełnione matematyka .php'>Filtr F jest właściwy jeśli dodatkowoMówimy, że matematyka .php'>filtr F podzbiorów liczby kardynalnej κ jest jednorodny, gdy , tzn. matematyka .php'>filtr F nie zawiera podzbiorów zbioru κ mocy mniejszej niż κ.Charakterem matematyka .php'>filtru nazywamy liczbęFiltr właściwy F w porządku częściowym jest matematyka .php'>filtrem maksymalnym jeśli jedynym matematyka .php'>filtrem właściwym zawierającym F jest samo F matematyka .php'>Filtry maksymalne są też często nazywane ultrafiltrami, szczególnie w odniesieniu do matematyka .php'>filtrów w algebrach Boole a i matematyka .php'>filtrów podzbiorów danego zbioru matematyka .php'>Filtr właściwy F w górnym pólkracie jest matematyka .php'>filtrem pierwszym jeśli następujący warunek jest spełniony:Innymi słowy, matematyka .php'>filtr F jest matematyka .php'>filtrem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy zbior jest ideałem Jeśli P jest porządkiem liniowym, to każdy matematyka .php'>filtr jest matematyka .php'>filtrem pierwszym. Jeśli P jest kratą rozdzielną, to każdy matematyka .php'>filtr maksymalny jest matematyka .php'>filtrem pierwszym.Jeśli F jest właściwym matematyka .php'>filtrem w algebrze Boole a B, następujące warunki są równoważne: