Dywan Sierpińskiego

Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć 3x3 mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.Formalnie rzecz biorąc, oznacza to operację składającą się z nieskończonej ilości kroków, więc ściśle definiuje się w następujący sposób Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów (x,y), 0≤x 1 0≤y 1 takich, że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1 8928...Według obecnie uznawanej definicji krzywej, dywan Sierpińskiego jest krzywą. Obecnie przyjmowana definicja krzywej jest równoważna (na płaszczyźnie) def. Cantora krzywych płaskich.Można udowodnić, że pole powierzchni dywanu Sierpińskiego wynosi 0.Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy za każdym razem 8n kwadratów o boku 1/3 n 1 każdy, czyli polu 1/9 n 1 każdy (n=0 1 2 ...). Tym samym pole pozostałej figury po n 1 iteracjach wynosi:Suma tego szeregu geometrycznego wynosi w nieskończoności:więc