Dowód niewymierności pierwiastka z dwóch

319 jpg' alt='Dow%C3%B3d_niewymierno%C5%9Bci_pierwiastka_z_dw%C3%B3ch'>
Twierdzenie o niewymierności pierwiastka z 2 – geometryczny dowód twierdzenia znany był już w starożytności i był znany m. in. Pitagorejczykom, którzy jednakże nie rozprzestrzeniali wieści o tym, iż istnieją odcinki których długości nie są do siebie proporcjonalne tak jak pewne liczby całkowite.Liczba jest niewymierna.Innymi słowy: kwadrat liczby naturalnej n2 jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą parzystą.Jeśli liczba naturalna n jest parzysta, czyli istnieje liczba naturalna k taka, że n = 2k to:Czynnik 2k2 będący iloczynem liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem n2, jako podwojona liczba naturalna, jest parzysta. Dowodzi to pierwszej części lematu.Jeśli liczba naturalna n jest nieparzysta, czyli istnieje liczba naturalna k taka, że n = 2k + 1 to:Czynnik 2k(k + 1 jako iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem n2, jako suma liczby parzystej i jedności, jest liczbą nieparzystą. Co dowodzi drugiej części lematu.Tym samym lemat został dowiedziony.Dowód ten najłatwiej przeprowadzić nie wprost, to znaczy przez wykazanie nieprawdziwości zaprzeczenia twierdzenia. Przypuśćmy zatem, że jest liczbą wymierną.Oznacza to, że istnieją takie dwie liczby naturalne L i M, żeKażdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, zatem możemy założyć, że liczby L i M są względnie pierwsze, tj. nie posiadają wspólnych dzielników oprócz 1 Stąd:Czyli liczba L2 jest parzysta. A to, na mocy lematu, oznacza, że L jest parzysta. Istnieje zatem liczba naturalna K taka, że L = 2K Podstawmy więc L = 2K do ostatniej równości:Zatem liczba M2 jest parzysta. A to, ponownie na mocy lematu, oznacza, że liczba M jest parzysta.Otrzymaliśmy sprzeczność – założyliśmy, że L i M są względnie pierwsze, a otrzymaliśmy, iż posiadają one wspólny dzielnik 2 Sprzeczność ta kończy dowód – liczba jest niewymierna.Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Wtedy istnieją będące najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi .Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że matematyka .php'>stosunek długości przeciwprostokątnej do przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym wynosi . Weźmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości n i przeciwprostokątnej AC długości m.Niech , punkty leżą w tej kolejności na jednej prostej, oraz punkty leżą w tej kolejności na jednej prostej.Niech F będzie punktem przecięcia odcinków DE i BC Otrzymaliśmy w ten sposób ΔEBF oraz ΔFDC, które są prostokątne i równoramienne, a ich przyprostokątne mają długość n' = m − n, zaś przeciwprostokątne m' = 2n − m.Ponieważ n < m < 2n to m − n < n oraz 2n − m < m.Mamy zatem liczby całkowite spełniające , co przeczy początkowemu założeniu, że są najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi tę równość. Oznacza to więc, iż nie jest liczbą wymierną.