Dodawanie

Dodawanie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. teoria_kategorii .php'>Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą. Dodawanie oznaczane jest zwyczajowo znakiem plus: .W niektórych przypadkach dodawanie w pamięci jest trudne. Można tę operację uprościć wykorzystując metodę dodawania pisemnego, która pozwala obliczyć sumę wykonując w pamięci wyłącznie dodawanie liczb jednocyfrowych.Poniżej podany jest przykład obliczenia sumy dwóch, trzycyfrowych liczb: i Drugą liczbę zapisujemy pod pierwszą, tak by cyfry zostały zapisane w kolumnach. Zapisując liczby należy je wyrównać do prawej, czyli zapisać jedności nad jednościami, dziesiątki nad dziesiątkami itd. Pod drugą liczbą narysuje się linię:Pozostała kolumna setek: dodajemy z trzeciej kolumny otrzymując piszemy w kolumnie setek pod kreską:otrzymując wynik Dodając pisemnie wiele liczb ("podliczanie słupków") wygodnie jest dodać osobno jednostki, dziesiątki, setki, itd., napisać wyniki (odpowiednio przesunięte) jeden pod drugim i ponownie zsumować. Pozwala to, w przypadku pomyłki, powtarzać tylko część obliczeń:Uwaga: Liczby można dodawać pisemnie tylko w systemach pozycyjnych.Możliwe są trzy przypadki, w zależności od znaku dodawanych liczb:Dla liczb wymiernych i dodawanie wymaga najpierw tzw. sprowadzenia do wspólnego mianownika, czyli takiego przekształcenia tych ułamków, aby ich mianowniki były równe.Następnie można zastosować wzór:Najmniejszym wspólnym mianownikiem jaki można tu zastosować, jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników dodawanych ułamków.Przykład:Można też wykorzystać fakt, że sprowadzenie do wspólnego mianownika można wykonać mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego. Dodawanie ułamków sprowadza się wtedy do wzoru:Przykład:W przypadku dodawania pisemnego ułamków dziesiętnych należy przesunąć dodawane liczby tak, aby przecinek dziesiętny był w tym samym miejscu:Liczby naturalne na ogół definiuje się na jeden z dwóch sposobów: przez użycie liczb kardynalnych lub przez aksjomatykę Peano (zob. aksjomaty i konstrukcje liczb . W pierwszym przypadku dodawanie liczb naturalnych to nic innego jak dodawanie liczb kardynalnych a w drugim dodawanie definiuje się indukcyjnie:gdzie jest następnikiem liczby .Działanie dodawania można krok po kroku definiować dla każdego rodzaju liczb Dodawanie zwyczajowo oznacza się symbolem , na przykład: .Zwykle jest ono rozpatrywane jako działanie dwuargumentowe, można jednak dodawać też mniej niż dwie liczby:Sumę można rozumieć jako lub . Obydwa te wyrażenia są równoważne, gdyż dodawanie jest łączne.Jeżeli sumujemy wiele składników, wygodnie jest stosować uproszczone zapisy, takie jak wielokropki: .Nieskończone sumy liczb bądź funkcji są nazywane szeregami, np. jest szczególnym przypadkiem szeregu geometrycznego. Są one ważnym przedmiotem badań analizy matematycznej Niektóre typowe prawa dodawania nie są tu spełnione, np. zmiana kolejności składników szeregu nieskończonego może zmienić jego sumę.Gdy rozważa się skomplikowane sumy, stosuje się także zapis z grecką dużą literą sigma:czytany "suma składników postaci rozciągnięta na wszystkie wskaźniki od do ".Analogicznie można zapisywać szeregi:Suma nie musi rozpoczynać się od 1 może rozpoczynać się od dowolnej całkowitej liczby (a także od przy zapisywaniu szeregów "od końca").Notację sigma można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.:Możliwe jest także używanie sigmy do zapisywania sum podwójnych.Analogiczne zapisy można stosować przy mnożeniu. Zamiast dużej litery sigma, stosowana jest wtedy duża litera pi: Dla dowolnej rosnącej funkcji zachodzi następująca zależność między całkami a sumami:Sumę funkcji , gdzie jest pewnym zbiorem ze zdefiniowanym działaniem dodawania (np. grupą czy, w szczególności, matematyka .php'>przestrzenią liniową) definiuje się jakoPrzykłady użycia:Działanie dodawania można określić w pierścieniu Zn Dodawanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia sumy liczb. Przykład: w zbiorze zachodzi Dodawanie modulo można też określić dla liczb rzeczywistych np. w geometrii suma dwóch kątów skierowanych ma matematyka .php'>miarę równą sumie ich matematyka .php'>miar modulo Dodawanie odcinków o długościach i polega na wykreśleniu odcinka o długości Dodawanie wektorów polega na dodawaniu ich współrzędnych. Wektory można dodawać algebraicznie lub geometrycznie (używając reguły trójkąta lub reguły równoległoboku Gdy jest punktem oraz jest wektorem to sumę należy rozumieć jako translację punktu o wektor . Wówczas składniki sumy nie są sobie równoważne ( jest wektorem i odpowiada przemieszczeniu, a jest punktem i nazywa się dodajną, a – dodajnikiem. Nomenklatura ta jest jednak rzadko spotykana.Działanie dodawania można zdefiniować dla dowolnych liczb kardynalnych używając sumy (rozłącznych zbiorów o mocy, której odpowiadają sumowane liczby.Zwykle określenie to jest używane do określenia dodawania liczb lub funkcji dających w wyniku liczby, takich jak wielomiany.Istnieje wiele innych struktur algebraicznych, w których określa się dodawanie Jest to działanie dwuargumentowe, które spełnia aksjomaty przyjętej struktury. Gdy rozważa się struktury algebraiczne (pierścienie, matematyka .php'>ciała matematyka .php'>przestrzenie liniowe) to jest ono dowolnym, abstrakcyjnym działaniem spełniającym pewne założenia, takie jak łączność czy istnienie elementu neutralnego. Czasem dla odróżnienia od zwykłego dodawania liczb stosuje się wtedy inny, podobny znak, np. .We wspomnianych wyżej strukturach algebraicznych dodawanie jest działaniem przemiennym, łącznym, a także rozdzielnym względem mnożenia (oczywiście w przypadku matematyka .php'>przestrzeni liniowej jest to rozdzielność względem mnożenia wektora przez skalar).Równości i kongruencje można dodawać stronami Element neutralny względem dodawania oznacza się symbolem 0 zwanym: zero.Jeżeli jest elementem zbioru ze zdefiniowanym działaniem dodawania to element taki, że , nazywa się elementem przeciwnym i oznacza symbolem . Własność zbioru polegającą na tym, że dla każdego elementu istnieje element przeciwny, nazywamy istnieniem odejmowania. We wspomnianych strukturach algebraicznych element przeciwny jest wyznaczony jednoznacznie.Uwaga: działanie sumy prostej (np. dla matematyka .php'>przestrzeni jest wbrew nazwie bardziej związane z iloczynem kartezjańskim niż z sumą.