Długość łuku

Długość łuku — jeżeli krzywa postaci y=f(x) ma w matematyka .php'>przedziale i pochodną ciągłą, to długość łuku w tym matematyka .php'>przedziale wyraża się wzorema różniczka łuku wyraża się wtedy wzoremJeżeli krzywa dana jest parametrycznie za pomocą równań x=g(t), y=h(t), przy czym funkcje g(t) i h(t) mają w matematyka .php'>przedziale i ciągłe pochodne oraz łuk nie ma części wielokrotnych, to długość łuku wyraża się wzorema różniczka łuku wzoremJeżeli krzywa dana jest równaniem we współrzędnych biegunowych r=v(θ), przy czym funkcja v(θ) ma w matematyka .php'>przedziale i ciągła pochodną i łuk nie ma części wielokrotnych, to długość łuku wyraża się wzorema różniczka łuku wzoremOblicz długość łuku cykloidy opisanej równaniem parametrycznymRozwiązanie Obliczamy pochodne:Podstawiamy do wzoru:czyliKorzystamy ze wzoru trygonometrycznego ponieważ w granicach całkowania i wyrażenie jest dodatnie zatemDługość łuku cykloidy jest równa poczwórnej średnicy toczącgo się okręgu.