Ciasność miar

Jędrność (ciasność) (ang. tight) – w matematyce pojęcie teorii matematyka .php'>miary formalizujące intuicyjną własność zbioru matematyka .php'>miar które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną i niech będzie σ-algebrą na X zawierającą topologię τ (czyli każdy podzbiór otwarty w X jest mierzalny, może być σ-algebrą borelowską na X). Niech M będzie rodziną matematyka .php'>miar określonych na .Rodzinę M nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego istnieje zwarty podzbiór matematyka .php'>przestrzeni X, że dla wszystkich matematyka .php'>miar zachodziCzęsto rozpatrywanymi matematyka .php'>miarami są miary probabilistyczne wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jakoJeżeli X jest przestrzenią zwartą to każda rodzina miar probabilistycznych na X jest jędrna.Niech dana będzie prosta rzeczywista z topologią naturalną euklidesową . Dla niech δx oznacza matematyka .php'>miarę Diraca skupioną w x. Wówczas rodzinanie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór ponieważ jest ograniczony, jest δn matematyka .php'>miary zero dla dostatecznie dużych n. Z drugiej strony, rodzinajest ciasna: matematyka .php'>przedział zwarty będzie pełnił rolę dla dowolnego . W ogólności rodzina matematyka .php'>miar delt Diraca na jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.Niech dana będzie n-wymiarowa matematyka .php'>przestrzeń euklidesowa ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina matematyka .php'>miar gaussowskichgdzie zmienna losowa o rozkładzie γi ma wartość oczekiwaną oraz wariancję . Wtedy rodzina Γ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy teoria_kategorii .php'>obie rodziny oraz są ograniczone.Niech będą takie, żeNiech będzie rozkładem normalnym ze średnią mi oraz odchyleniem standardowym σi. Wykarzemy, że rodzina matematyka .php'>miar jest jędrna.Niech będzie dane . Dla oraz σ > 0 niech Φm,σ będzie dystrybuantą rozkładu normalnego N(m,σ) i niech Φ0 1 = Φ. Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:PołóżmyNa mocy naszych założeń o mi,σi mamy, że dla :orazStądorazTeraz, dla każdego mamya zbiór jest zwarty jako domknięty i ograniczony matematyka .php'>przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów jest jędrna.Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych szczególnie, matematyka .php'>przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. ZobaczUogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych (μδ)δ > 0 na przestrzeni topologicznej Hausdorffa X nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego istnieje podzbiór zwarty matematyka .php'>przestrzeni X taki, że