Ciało (matematyka)

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych W trakcie badań nad tymi teoria_kategorii .php'>obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał Pojęcia ciała (bez nadawania mu nazwy) używał już Évariste Galois, który odkrył i sklasyfikował ciała skończone; później podobnie postąpił Bernhard Riemann (w 1857), którego interesowały ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności. Nazwa Körper (niem. ciało pojawiła się podobno po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, w sensie zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych dodawanie odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało . Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo) Ciałem nazywa się pierścień przemienny, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny. Mówiąc wprost, ciało K to stuktura taka, żeElement 1 nazywa się jedynką lub jednością i jest on elementem neutralnym mnożenia, 0 jest natomiast elementem neutralnym dodawania Wprost z definicji wynika, że każde ciało ma co najmniej dwa elementy (zero i jedynkę) i nie zawiera właściwych dzielników zera.W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy {0} i całe ciało K. Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy K Ciało o skończonej bądź nieskończonej liczbie elementów nazywa się odpowiednio ciałem skończonym oraz ciałem nieskończonym. Okazuje się, że ciała skończone można łatwo sklasyfikować: każde z nich ma pn elementów gdzie p jest pewną liczbą pierwszą, a n jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementówizomorficzne czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.Podciałem ciała K nazywa się taki podzbiór L ciała K, który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z K). Dowolny homomorfizm ciał jest matematyka .php'>zanurzeniem gdyża więc dla każdego .Dla każdego ciała K zawsze istnieje homomorfizm pierścieni ; jeżeli φ jest matematyka .php'>zanurzeniem to najmniejsze podciało ciała K zawierające pierścień jest izomorficzne z , a o K mówi się, że jest charakterystyki zero; w przeciwnym wypadku istnieje najmniejsza liczba naturalna p taka, że φ(p) = 0 i jest ona liczbą pierwszą; wówczas pierścień jest izomorficzny z ciałem reszt i mówi się, że K ma charakterystykę równą p.Jeżeli L jest podciałem ciała K, to ciało K nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała L i oznacza tę relację między ciałami oznacza się K / L. Charakterystyka K jest równa charakterystyce L i K jest matematyka .php'>przestrzenią liniową nad L. Stopniem rozszerzenia K / L nazywa się wymiar tej matematyka .php'>przestrzeni liniowej. Rozszerzenie K / L nazywa się rozszerzeniem skończonym gdy jego stopień jest skończony, i roszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony,Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała K jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru istnieje najmniejsze podciało ciała K. Jeśli L jest podciałem ciała K, a A - podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała K zawierające L i A oznacza się L(A).Część wspólna wszystkich podciał ciała K nazywana jest podciałem prostym ciała K. Podciało proste jest ciałem prostym Ciałamielementy łańcucha:Strzałki opisują własność bycia podciałem (która jest przechodnia), kierunek odwrotny opisuje rozszerzenia. Wspomniane ciała nie są jedynymi przykładami, ciałem jest np. zbiór liczb p-adycznych . Ciało nie musi być nawet zbiorem liczbowym: funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych (z dowolnego ciała również są ciałem Przykładem ciała skończonego jest ciało Zp, z kolei ciało funkcji wymiernych jest przykładem ciała nieskończonego dodatniej charakterystyki.