Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne – jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej μ i skończonej wariancji 2 to zmienna losowa o postacizbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego gdy n rośnie do nieskończoności Centralne twierdzenie graniczne znane też pod nazwą Twierdzenie Lindeberga-Lévy'ego orzeka:Niech (Xn,k) będzie schematem serii, w którym EXn,k = 0 dla i dla każdego n mamy . Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego ε > 0 zachodzi , wtedy .Dowodów Centralnego Twierdzenia Granicznego w wersji ogólnej jest kilka. Wszystkie są dość skomplikowane i wymagają korzystania z wielu zaawansowanych narzędzi matematycznych Poniżej znajduje się jeden z prostszych dowodów, nie dający jednak oszacowania wartości błędu.Pierwszym krokiem dowodu jest sformułowanie i udowodnienie użytecznych lematów.Lemat 1Niech będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że zachodzi oraz . Wówczas: DowódOznaczmy . Wówczas .Ustalmy dowolne y > 0. Wówczas zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a istnieją takie z,t,w > 0, że:Na tej samej zasadzie:Lemat 2Jeżeli X˜N(0 1 , toDowódDokonujemy podstawienia :Teraz całkujemy przez części:Drugi krok polega na oszacowaniu pewnej wartości:Niech będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że oraz .Rozważamy niezależne zmienne (Gn,k) o rozkładzie normalnym takie, że oraz D2Gn,k = D2Xn,k.Wówczas :Przy czym ostatnia nierówność to nierówność trójkąta.Drugi ze składników daje się na podstawie Lematu 1 oszacować w sposób następujący:Tymczasem , gdzie G˜N(0 1 . W związku z tym (korzystając z Lematu 2 :Wobec tegoPierwszy ze składników można natomiast oszacować w sposób następujący:Z kolei szacujemy:orazOstatnia nierówność wynika z Lematu 1 Zatem mamy następujące oszacowanie:Trzeci krok polega na wielokrotnym zastosowaniu oszacowania uzyskanego powyżej.Rozpatrzmy k-ty z powyższych wyrazów.PodstawiamyZmienna Y jest niezależna od Xn,k i Gn,k. Wobec tego:Zatem:. Pierwszy i ostatni składnik z warunku Lindeberga zbiegają do zera, gdy n dąży do nieskończoności. W związku z tym:Oznacza to, że:Czwarty krok polega na wyliczenie dystrybuanty granicznej na podstawie powyższych oszacowań.Weźmy funkcję spełniającą warunek dla pewnych .Wówczas:Ale:orazW związku z tym:oraz podobnieOtrzymujemy więcAle z ciągłości dystrybuanty rozkładu normalnego wnioskujemy, żePonieważ punktowa zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości dystrybuanty granicznej jest równoważna zbieżności według rozkładu, więc ostatecznie: