Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest synonimem całkowania numerycznego w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżejwymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się matematyka .php'>przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej matematyka .php'>przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):Jeśli funkcja f(x) zmienia się w niewielkim stopniu na matematyka .php'>przedziale (x * ,x * + h), reguła taka da dobre przybliżenie całki.Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych, tzn. krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. matematyka .php'>Przedział całkowania (a,b) dzielimy przy tym na n równych części o długościach Punktami podziału (końcami części) są wówczas:Wówczas pole figury złożonej z trapezów wynosigdzieStąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów:Oszacowanie błędu tej metody wynosigdzieMetoda daje zazwyczaj lepsze przybliżenie niż metoda prostokątów, ale wymaga obliczenia wartości funkcji w 2 punktach Wymaga podzielenia matematyka .php'>przedziału całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn.dla uproszczenia oznaczamy:wykonując całkowanie wielomianu matematyka .php'>interpolacyjnego Lagrange'a z 3 kolejnych punktów otrzymujemy wzór Simpsona:dla całego matematyka .php'>przedziału (a,b) otrzymujemy:Do przybliżonego obliczania całki oznaczonej można również wykorzystać metody probabilistyczne. Należy pamiętać jednak, że wynik takiego całkowania jest też zmienną losową Idea opiera się na policzeniu pola pod wykresem funkcji dla f(x) > 0 i odjęciu pola nad wykresem dla f(x) < 0Spróbujmy scałkować funkcję cos(x) na matematyka .php'>przedziale od 0 do 1 Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:co daje błąd 0,0361115771 (błąd względny 4 3% – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić matematyka .php'>przedział całkowania:Z błędem bezwzględnym 0,0088296604 lub względnym 1% Dzieląc matematyka .php'>przedział całkowania na więcej fragmentów możemy uzyskać lepsze przybliżenie Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg sin(t) na matematyka .php'>przedziale od 0 do . Oznaczmy częstotliwość próbkowania przebiegu przez fp .Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału wynosi 1 Niech Xi(t) oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz Xi można obliczyć jako sumę częściową: