Całka Lebesgue'a

Całka Lebesgue'a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r przez francuskiego matematyka Henri Lebesgue'a. Rozszerzenie dotyczy też dziedziny na której funkcje podcałkowe mogą być określone.Sam Lebesgue tak porównywał swoją definicję z klasyczną całką Riemanna: Wyobraźcie sobie, że należy zapłacić pewną sumę; można w tym celu wyciągać pieniądze z portmonetki po kolei aby uzbierać potrzebną kwotę albo wyjąć wszystkie naraz i wybrać odpowiednie walory. Pierwsza metoda to całka Riemanna, druga odpowiada mojemu pojęciu całki. Wyjaśnić można to następująco: w metodzie Riemanna przebiega się dziedzinę funkcji i mierzy „wysokość” wykresu po kolei w każdym miejscu, podczas gdy metoda Lebesgue'a bierze pod uwagę najpierw zbiór wartości funkcji i stosownie do tego wybiera kawałki dziedziny.Jeżeli dla danej funkcji istnieje całka Riemanna, to jest ona równa całce Lebesgue a tej funkcji. Jednak zasadnicza przewaga całki Lebesgue a jako narzędzia matematycznego opisu nie polega jedynie na teoretycznie większej ogólności definicji. W praktyce najistotniejsze jest, że nowa całka współgra z pojęciem granicy punktowej ciągu funkcji i w opisie matematycznym można zamieniać kolejność operacji liczenia całki i granicy. Obecnie całka Lebesgue a jest jednym z podstawowych narzędzi współczesnej matematyki i nauk ją wykorzystujących.W uproszczeniu całkowanie oznacza obliczanie pola pod wykresem funkcji na zadanym odcinku Choć pierwsze rachunki tego typu były przeprowadzane już przez Archimedesa w starożytności, to systematyczne podejście do tego zagadnienia i wydajne metody obliczeń zostały przedstawione w XVII wieku przez Isaaca Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Prawdziwie ścisły formalizm, oparty na pojęciu granicy, zawdzięczamy pracom Augustina Cauchy'ego i – przede wszystkim – Bernharda Riemanna. Idea całkowania, według tego ostatniego, polega na podziale zadanego odcinka na drobniejsze kawałki i przybliżeniu pola pod wykresem na tym kawałku za pomocą prostokąta (zob. ilustracje obok). Biorąc coraz drobniejsze podziały otrzymujemy coraz dokładniejsze przybliżenie, w granicy zaś pożądaną wartość dokładną.Definicja powyższa, choć dość dobrze odpowiada intuicji „pomiaru pola”, posiada również istotne ograniczenia. Najważniejsze to „mała elastyczność” operacyjna: w przypadku liczenia całek z granicy ciągu funkcji pojawiają się problemy; w szczególności całka z funkcji granicznej może w ogóle nie istnieć. Ma to pierwszorzędne znaczenie np. dla teorii szeregów Fouriera i, w konsekwencji, dla całej sfery ich zastosowań (np. w przetwarzaniu sygnałów). Inna postać tego ograniczenia to matematyka .php'>stosunkowo uboga klasa funkcji całkowalnych tzn. takich, dla których definicja całki prowadzi do obliczenia konkretnego rezultatu (zob. przykład poniżej). Ponadto całka Riemanna może być określona jedynie w matematyka .php'>przestrzeni euklidesowej Tymczasem całe działy matematyki – jak np. probabilistyka – opierają się na pojęciu całki dla funkcji określonych na matematyka .php'>przestrzeniach o wiele bardziej abstrakcyjnych.Zasługą Henri Lebesgue'a było zupełnie nowe spojrzenie na proces mierzenia i zdefiniowanie pojęcia całki wolnego od powyższych mankamentów. Zgodnie z wcześniejszą ideą ogólną całka Lebesgue a dla funkcji dodatniej ma mierzyć pole obszaru pod wykresem funkcji.Jednak zamiast – jak w całce Riemanna – dzielić dany odcinek (dziedzinę) na drobniejsze części, dokonuje się dyskretyzacji zbioru wartości funkcji. Kawałki dziedziny odpowiadające tym dyskretnym wartościom (nie muszą one wcale już być odcinkami mierzy się za pomocą matematyka .php'>miary Lebesgue'a (dokładniejszy opis znajduje się poniżej). Odpowiednią teorię 27-letni wówczas Lebesgue przedstawił w swojej rozprawie doktorskiej „Intégrale, longueur, aire” („Całka, długość, pole”) obronionej w 1902 roku na Uniwersytecie w Nancy. Otworzyło to drogę do powstania całej dziedziny zwanej teorią matematyka .php'>miary i – niemożliwych wówczas do przewidzenia – zastosowań w matematyce i poza nią. Ceną za to nowe i bardzo silne narzędzie matematyczne jest znacznie większy podkład teoretyczny potrzebny do jego wprowadzenia.Co ciekawe, po pewnym czasie Lebesgue przestał interesować się swoją całką, a w latach międzywojennych jego teorie najbardziej popularne były nie w Paryżu, ale – za sprawą Polskiej szkoły matematycznej – we Lwowie .W przypadku całki Riemanna proces mierzenia tego pola jest oparty na dzieleniu dziedziny funkcji na matematyka .php'>przedziały Podczas gdy metoda ta działa bardzo dobrze dla funkcji ciągłych to funkcje których zbiór punktów nieciągłości nie jest matematyka .php'>miary zero, nie są całkowalne w sensie Riemanna. Co więcej, wśród tych niecałkowalnych znajdują się funkcje dość proste i często spotykane, a możliwość ich całkowania (włączenia do teorii całki) jest istotna zarówno dla teoretyków jak i dla zastosowań.Typowym przykładem jest funkcja Dirichleta: zdefiniowanej następująco Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, a poza tym zbiorem funkcja jest tożsamościowo równa zeru. Naturalnym jest więc oczekiwanie, że pole obszaru pod wykresem tej funkcji powinno być równe zero. W szczególności powinna istnieć możliwość zmierzenia tego pola, czyli scałkowanie funkcji D.Całka Riemanna jest związana z matematyka .php'>miarą Jordana, która jest wyłącznie skończenie addytywna, to znaczy taka, że matematyka .php'>miara sumy skończonej liczby zbiorów rozłącznych jest równa sumie matematyka .php'>miar poszczególnych zbiorów. Jednym z podstawowych kroków na drodze ku rozszerzeniu pojęcia całki Riemanna na funkcje typu funkcji Dirichleta jest rozszerzenie matematyka .php'>miary Jordana do matematyka .php'>miary Lebesgue'a, która jest już przeliczalnie addytywna, tzn. taka, że własność sumowania zachodzi także dla nieskończonej ilości zbiorów rozłącznych.Definicja całki związanej z tą matematyka .php'>miarą wymaga zmiany spojrzenia na proces mierzenia obszaru W definicji całki Riemanna dziedzina funkcji jest dzielona na krótkie matematyka .php'>przedziały Tymczasem przy obliczaniu całki Lebesgue a to nie dziedzina, ale przeciwdziedzina całkowanej funkcji jest dzielona na skończenie wiele matematyka .php'>przedziałów Można dla ułatwienia opisu założyć, że przeciwdziedzina dodatniej funkcji f jest zawarta w matematyka .php'>przedziale (0,b). Aby znaleźć przybliżenie wartości pola obszaru pod wykresem funkcji f, należy podzielić matematyka .php'>przedział (0,b) na rozłączne podprzedziały przy pomocy punktów .Dla należy położyć rys obok) i wybrać też liczby (na rysunku liczbom tym odpowiadają czerowne linie). Każdy z obszarów ma pole, które równe jest mierze zbioru Ai pomnożonej przez ci. Otrzymane w ten sposób obszary są parami rozłączne, można zatem oczekiwać, że suma będzie dobrym przybliżeniem do pola obszaru pod funkcją f, tym lepszym im drobniejszy był początkowy podział zbioru wartości za pomocą liczb ai. W terminach matematycznych realizuje się to podejście za pomocą pojęcia funkcji prostej, to znaczy takiej, która ma tylko skończenie wiele wartości. Następnie zadaną funkcję przybliża się funkcjami prostymi.Całka Riemanna była konstrukcją związaną nierozerwalnie z matematyka .php'>przestrzeniami euklidesowymi; metoda jej rozszerzenia użyta przez Lebesgue'a pozwala przenieść pojęcie całki na funkcje określone na ogólniejszych matematyka .php'>przestrzeniach z matematyka .php'>miarą W podręcznikach analizy matematycznej i teorii matematyka .php'>miary pojawia się wiele równoważnych definicji całki Lebesgue a. Poniżej naszkicowane jest tylko jedno z popularniejszych podejść. Trochę inna, równoważna definicja znajduje się w artykule o funkcjach całkowalnych Teoria matematyka .php'>miary powstała początkowo jako dokładna analiza pojęcia długości podzbiorów prostej rzeczywistej i, ogólniej, matematyka .php'>objętości w matematyka .php'>przestrzeni euklidesowej Jednym z jej podstawowych zadań jest odpowiedź na pytanie które zbiory można „zmierzyć”, gdyż – jak się okazało – niemożliwe jest przypisanie matematyka .php'>miary każdemu podzbiorowi z zachowaniem naturalnych własności dodawania tych matematyka .php'>miar i ich niezmienności ze względu na przesunięcia. Właściwym rozwiązaniem jest wybór odpowiedniej rodziny (σ matematyka .php'>ciała zbiorów, zwanych mierzalnymi. W praktyce wygodnie jest zakładać, że ta rodzina jest w pewien sposób zgodna z pojęciem odległości lub, ogólniej, topologią w danej matematyka .php'>przestrzeni Oznacza to wybór rodziny zbiorów borelowskich. Ogólna teoria zbiorów mierzalnych jest dyskutowana w oddzielnych artykułach (zob. teoria matematyka .php'>miary .Najczęściej stosowanym symbolem całki nieoznaczonej Lebesgue'a z funkcji f jest , zaś dla całki oznaczonej, w której całkowanie przebiega po określonym zbiorze, stosuje się zapis zbioru w indeksie dolnym tak jak powyżej.Jednakże jeśli zbiór jest jednowymiarowy, np. matematyka .php'>przedział , m.in. z powodu równości z odpowiednią całką Riemanna oraz tradycji stosuje się również zapis , który oznacza oczywiście . Jeśli w jednym miejscu poruszane są zagadnienia całki Riemanna i Lebesgue'a to stosuje się odpowiednio pierwszy zapis dla całki Riemanna, drugi dla Lebesgue'a.Jeżeli matematyka .php'>miara względem której przebiega całkowanie jest znana (najczęściej jest to matematyka .php'>miara Lebesgue'a), wynika z kontekstu lub wzór jest niezależny od matematyka .php'>miary to symbol różniczki dλ jest opuszczany. Dlatego też można spotkać się np. z zapisem . Zastosujemy te zapisy w dalszej części artykułu, aby zwiększyć przejrzystość wzorów.Na rysunku obok pokazano poglądowe porównanie całek Riemanna i Lebesgue'a. W całce Riemanna podział na prostokąty pola pod wykresem jest z grubsza „dowolny”: dziedzinę dzielimy na drobne kawałki, w każdym „kawałku” wybieramy pewną wysokość prostokąta (wysokość ta to jakaś – dowolna – wartość funkcji na tym kawałku).Typowym wyborem w praktyce jest podział równomierny na osi x, jak przedstawiono na górnym rysunku obok. W całce Lebesgue a przybliża się daną funkcję niemalejącym ciągiem funkcji prostych. Jest to typowy sposób realizacji supremum użytego w jej definicji. Chociaż graficznie wygląda to na pierwszy rzut oka podobnie, to należy zauważyć, że podział na prostokąty jest „sterowany” zbiorem wartości funkcji prostej. Co więcej, te funkcje proste możemy wybierać dość dowolnie; typowy wybór w praktyce opiera się na analizie podziale) zbioru wartości danej funkcji podcałkowej, tak jak to opisano to we wstępie artykułu. Skutkuje to podziałem dziedziny na kawałki, które nie są już koniecznie tylko odcinkami: jeden „kawałek” może być np. sumą kilku odcinków (na rysunku obok sumy takie zaznaczono wspólnym kolorem prostokąta). W ogólności, dla mniej regularnych funkcji taki „kawałek” może mieć bardzo skomplikowaną postać i aby go „zmierzyć” wprowadza się matematyka .php'>miarę Lebesgue'a.Jeżeli funkcja podcałkowa jest dostatecznie regularna, np. ciągła, teoria_kategorii .php'>obie definicje dadzą ten sam rezultat. W przypadku mniej regularnych funkcji całka Riemanna może w ogóle nie istnieć. Na przykład za pomocą definicji Riemanna nie da się obliczyć całki z funkcji Dirichleta D opisanej wyżej. Natomiast w teorii Lebesgue'a jest to zwykła funkcja prosta, przyjmująca tylko dwie wartości (0 i 1 tyle, że w sposób dość „nieregularny”. Jej całka Lebesgue a jest równagdyż matematyka .php'>miara zbioru liczb wymiernych wynosi zero (jest to natychmiastowa konsekwencja definicji matematyka .php'>miary i przeliczalności zbioru ). W tym prostym przypadku, wychodząc od zbioru wartości, podzieliliśmy dziedzinę tylko na dwie części, a żadna z nich nie była odcinkiem Niech . W dalszej części rozważać będziemy funkcję f obciętą do zbioru E, co zapisywać będziemy po prostu przez f, o ile nie doprowadzi to do niejednoznaczności zapisu.Przenosi się również twierdzenie Fubiniego o zamianie całki podwójnej na iterowaną. Jednak najważniejsze cechy całki Lebesgue a są związane z kompatybilnością pojęcia całki i granicy punktowej ciągu funkcji. Mówiąc najogólniej, przy odpowiednich warunkach całka z granicy ciągu funkcji jest równa granicy ciągu całek tych funkcji. Innymi słowy można zamieniać kolejność liczenia granicy ciągu i całki funkcji. Odpowiednie własności są ujęte precyzyjnie w następujących twierdzeniach:Żadne z tych twierdzeń nie może być sformułowane w podobnie prosty sposób dla całki Riemanna, gdyż tam granica ciągu funkcji („regularnych”, prostych) może w ogóle nie być całkowalna. Ta różnica w dużej mierze przyczyniła się do sukcesu teorii Lebesgue'a – pozornie bardziej skomplikowanej i odchodzącej od intuicyjnego pojęcia pola – i w konsekwencji do zastosowań w matematyce fizyce i technice.