Aproksymacja liniowa

Aproksymacja liniowa funkcji to przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest matematyka .php'>interpolacja liniowa w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.Dla danej funkcji funkcji różniczkowalnej f jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla n=1 można napisać:gdzie R2 jest tzw. resztą Peano, spełniającą warunek:Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:i przybliżenie to jest tym lepsze, im x jest bliższe a. Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f(x), w punkcie o współrzędnych .Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład, jeżeli f(x,y) jest funkcją rzeczywistą dwu zmiennych, otrzymujemy wzór:Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji z = f(x,y) punkcie o współrzędnych Uogólnienie powyższego na przypadek matematyka .php'>przestrzeni Banacha wygląda następująco:gdzie Df(a) jest pochodną Frecheta funkcjif dla x = a Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonejwartości obliczeniu przybliżonej wartości funkcji f 25 .