Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna – dziedzina teorii liczb badająca możliwości przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopień dokładności takiego przybliżenia.Zgrubnym miernikiem dokładności przybliżenia jest wartość bezwzględna różnicy między daną liczbą rzeczywistą a jej przybliżeniem, subtelniejsze rozważania uwzględniają również wielkość mianownika odpowiedniego ułamka.Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii.Można przyjąć, że pierwsze systematyczne badania w tej dziedzinie mają początek w pracach Liouvilla dotyczących istnienia liczb przestępnych (tzw. liczb Liouville'a). Wcześniej wiedziano sporo na temat przybliżania liczb niewymiernych ułamkami łańcuchowymi, znane było też twierdzenie Dirichleta o aproksymacji jednak dopiero od Liouville'a zagadnieniom tym poświęcono systematyczną uwagę.Wyniki Liouville'a, które były efektywne, poprawił Axel Thue i jego następcy, ale stracili efektywność: udowodnione w roku 1955 twierdzenie Thue-Siegela-Rotha mówi, że jeśli liczba α jest algebraiczna, to dla dowolnego ε > 0 nierówność:ma tylko skończenie wiele rozwiązań w liczbach p i q względnie pierwszych i wykładnika po prawej stronie nie da się już zmniejszyć.Twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha zostało uogólnione na przypadek jednoczesnej aproksymacji skończonego zbioru liczb, przez Wolfanga M. Schmidta, wciąż nieefektywnie, co czyni ten wynik, i jego nieefektywnych poprzedników, mało przydatnymi do obliczeń.Druga grupa zagadnień badanych w teorii aproksymacji to problematyka równomiernego rozkładu. Podstawowym wynikiem w tym kierunku jest kryterium Weyla, które z kolei pokazuje związek aproksymacji diofantycznej z analityczną teorią liczb. Inne problemy, jakie mogą się tu pojawiać, wiążą się z nieregularnościami rozkładu.Jak w innych działach teorii liczb, również tu istnieje wiele nierozwiązanych, a prosto sformułowanych problemów. Jednym z nich jest hipoteza Littlewooda (dane z roku 2004 , która głosi, że dla dowolnych liczb niewymiernych α i βgdzie jest odległością od liczby x do najbliższej liczby całkowitej: (zob. część ułamkowa).