Aksjomaty Zermelo-Fraenkela

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (w skrócie ZF) - powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r , a uzupełniony i zmodyfikowany przez Abrahama A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o pewnik wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.W 1908r, Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości teorię mnogości Zermeliego. Ta aksjomatyczna teoria nie pozwalała na konstrukcję liczb porządkowych. Aczkolwiek większość "zwykłej matematyki można wyprowadzić bez używania liczb porządkowych, to jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teorio-mnogościowych Ponadto jeden z aksjomatów Zermeliego odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia "określonej" właściwości. W 1922r, Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem niezależnie zaproponowali uściślenie pojęcia "określoności" właściwości jako takich które mogą zostać sformułowane w teorii pierwszego rzędu, której pojęcia pierwotne ograniczają się do bycia częścią zbioru oraz tożsamości. Również niezależnie od siebie zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania Dodając ten schemat, oraz aksjomat regularności (zaproponowany przez Zermelo w 1930r), do teorii mnogości Zermeliego otrzymujemy teorię oznaczaną przez ZF. Dodając następnie do ZF albo aksjomat wyboru (AC) albo doń równoważne wyrażenie otrzymujemy ZFC.Dla uproszczenia zapisu używany będzie skrót na oznaczenie formuły wyrażającej własność "istnieje dokładnie jeden taki y, że zachodzi W(y)". Jedna z równoważnych (w sensie rachunku predykatów definicji tego skrótu to 1 Aksjomat ekstensjonalności 2 Aksjomat zbioru pustego 3 Aksjomat wyróżniania: (nazywane również aksjomatem podzbiorów, wycinania)Daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania 4. Aksjomat pary:5 Aksjomat sumy:6 Aksjomat zbioru potęgowego:7. Aksjomat nieskończoności:8 Aksjomat wyboru:9 Aksjomaty zastępowania: (słabszą jego wersją jest podany wyżej aksjomat wyróżniania) 10: Aksjomat regularności (ufundowania):