Aksjomaty i konstrukcje liczb

Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne teoria_kategorii .php'>obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.Nie ma jednej uniwersalnej cechy odróżniającej wszystkie liczby od elementów algebr , które tak nie są nazywane. To tylko tradycja. Matematycy nie definiują „liczb”, definiują „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, „liczby rzeczywiste” itp. O ile jednak nazwanie danego teoria_kategorii .php'>obiektu liczbą jest podyktowane bardziej tradycją niż ogólną definicją, to poszczególne rodzaje liczb są już ściśle określane. Definicje liczb stanowią pewną sekwencję (bardziej złożone algebry opierają się na prostszych), którą prezentuje niniejszy artykuł.Liczby mogą być definiowane na trzy sposoby:Wśród mnogości pojęć mających w nazwie słowo "liczba" można wyróżnić:Zbiory liczbowe tworzące algebrę są zawsze definiowane razem z podstawowymi działaniami na nich – dodawaniem i mnożeniem . Dopiero określenie zbioru wraz z działaniami, czyli tzw. struktury algebraicznej, stanowi dostateczną definicję. Nie wystarcza tu skonstruowanie samego zbioru, gdyż określając odpowiednio działania, można sprawić, że np. zbiór liczb wymiernych będzie nieodróżnialny izomorficzny od zbioru liczb naturalnych .Dowolny zbiór w którym zdefiniowane działania spełniają aksjomaty właściwe dla danej algebry liczbowej, czyli tzw. model jej aksjomatyki, można nazwać zbiorem liczb. Posiada on bowiem wówczas wszystkie właściwości, jakich oczekujemy po danym zbiorze liczbowym. Model aksjomatyki liczb nazywamy konstrukcją liczb.Ponieważ dany zestaw aksjomatów może mieć wiele różnych modeli, liczby można skonstruować na wiele sposobów. Metody te są równoważne w tym sensie, że wszelkie twierdzenia udowodnione na liczbach skonstruowanych według jednej metody dają się bez zmian przenosić na inne konstrukcje (zachodzi tzw. izomorfizm . W praktyce więc, poza domeną teorii mnogości i logiki, nie ma potrzeby ich odróżniać.Na ogół zaczyna się konstrukcję od liczb naturalnych, następnie buduje w oparciu o nie liczby całkowite, potem w oparciu o nie liczby wymierne, potem rzeczywiste i zespolone . W każdym z tych zbiorów są podzbiory, które przy tej samej definicji działań spełniają aksjomaty liczb zdefiniowanych wcześniej.Przykładowo liczby wymierne mogą być skonstruowane jako zbiory par liczb całkowitych z odpowiednio zdefiniowanym dodawaniem i mnożeniem. Wydawałoby się, że liczba całkowita zbiorem par liczb całkowitych być nie może, a więc liczby całkowite nie są szczególnym przypadkiem liczb wymiernych. Ponieważ jednak podzbiór liczb wymiernych odpowiadający ułamkom a 1 ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem także spełnia aksjomaty liczb całkowitych, ostatecznie możemy więc stwierdzić, że liczby całkowite są jednak szczególnym przypadkiem wymiernych, a ich zbiór zawiera się w zbiorze liczb wymiernych. Podobnie jest przy konstruowaniu kolejnych zbiorów liczbowych.Można też wykonać konstrukcję od drugiej strony i najpierw skonstruować jakąś dostatecznie szeroką strukturę, np. liczby zespolone, a następnie zdefiniować pozostałe zbiory jako jej podzbiory z tymi samymi działaniami dodawania i mnożenia.Na początek załóżmy, że istnieje liczba 1 (cokolwiek by ten symbol nie miał oznaczać). Chcielibyśmy także dla każdej liczby a móc pokazać jej tzw. następnik (oznaczymy go S(a)). Musimy zatem zagwarantować istnienie następnika liczby 1 (który oznaczymy 2 , a także następników kolejnych następników. Następnik liczby 2 oznaczymy 3 itd. Jeśli dodatkowo założymy, że 1 nie jest następnikiem żadnej liczby i odpowiednio zdefiniujemy dodawanie i mnożenie, to tak skonstruowany zbiór możemy nazwać zbiorem liczb naturalnych.Proces konstrukcji kolejnych elementów zbioru wygląda następująco:Ściślej rzecz biorąc, zbiór liczb naturalnych jest definiowany przez tzw. aksjomaty Peano .Niektórzy matematycy zaliczają zero do liczb naturalnych, inni nie. Jest to wyłącznie kwestia nazewnictwa. Zarówno zbiór liczb naturalnych z zerem, jak i bez niego ma powyższe własności. W tym pierwszym przypadku J oznacza 0, w tym drugim 1 Do pełnego określenia liczb naturalnych brakuje definicji działań i porządku. Definicje te zależą już od tego, czy liczby naturalne zaczniemy od zera, czy nie.Dla liczb z zerem dodawanie mnożenie i relację porządku wprowadzamy przez aksjomaty:Podstawiając do równania 9 wartość b = 0, uzyskujemy , skąd wynika, że S(0) jest elementem neutralnym mnożenia. Zwykle przywykliśmy do zapisywania tej liczby jako 1 stąd można napisać 1 = S(0). Podstawiając do równania 7 b = 0, uzyskujemy a + S(0) = S(a), czyli S(a) − a = S(0) = 1 Odstępy pomiędzy każdą liczbą, a jej następnikiem są identyczne i równe 1 Stąd Dla liczb naturalnych bez zera dodawanie mnożenie i relację porządku wprowadzamy przez aksjomaty:Aksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia on, że aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona w języku pierwszego rzędu, ale za to (jak wykazał Richard Dedekind) jest ona teoria_kategorii .php'>kategoryczna czyli każde dwa modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne Ponieważ w logice głównym narzędziem są języki pierwszego rzędu, matematycy rozważają arytmetykę Peany (oznaczaną przez PA od angielskiego Peano arithmetic). Jest to teoria w języku pierwszego rzędu która powstaje przez zastąpienie aksjomatu indukcji schematem (nieskończoną listą) aksjomatów pierwszego rzędu. Teoria PA jest znacznie słabsza niż aksjomatyzacja Peany, w szczególności nie jest teoria_kategorii .php'>kategoryczna i ma wiele nieizomorficznych modeli.Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna "porządnie opisywalna" aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego rzędu jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które choć prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się uzupełnić skończoną liczbą aksjomatów, tak aby prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. twierdzenie Goodsteina , których nie można udowodnić ani obalić na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).Inną aksjomatyką jest podejście Kaye (1991). Kaye nie definiuje aksjomatu indukcji, uznając go za część metajęzyka. Kaye zakłada w nim, że zero należy do liczb naturalnych i definiuje od razu dodawanie mnożenie i relację porządku:Istnieją też systemy aksjomatycznej teorii mnogości równoważne arytmetyce Peano .Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella , definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych. Relacja "dwa zbiory są równoliczne" pozwala na uporządkowanie zbiorów skończonych w klasy zbiorów o tej samej liczności . Etykiety przypisane tym klasom nazywamy liczbami naturalnymi .W teorii mnogości liczby naturalne konstruuje się w sposób zaproponowany przez Johna von Neumanna. W tym przypadku, zbiór pusty utożsamiamy z zerem, następnik zera – liczbę jeden – utożsamiamy ze zbiorem złożonym z zera (zbioru pustego) i ogólniej następnik każdej liczby jest zbiorem, którego elementami są wszystkie poprzednie liczby.Jeśli przez oznaczać zbiór liczb naturalnych, wówczas:W teorii mnogości zbiór liczb naturalnych oznacza się też przez ω (por. liczba porządkowa). Tak skonstruowany zbiór spełnia aksjomaty Peano.Aksjomaty liczb całkowitych tworzy się modyfikując aksjomatykę Peano przez wprowadzenie obok następnika, operacji poprzednika .Istnieją inne aksjomatyki liczb całkowitych Definicje działań:gdzie oznacza klasę abstrakcji odpowiadającą Podzbiór liczb całkowitych dodatnich (czyli takich, że w należących do nich parach , a > b) lub ewentualnie nieujemnych (w analogiczny sposób ) z tak samo zdefiniowanymi działaniami spełnia aksjomaty Peano, a zatem jest kolejną konstrukcją liczb naturalnych. Można więc uznać tak skonstruowane liczby naturalne za podzbiór liczb całkowitych.Liczby wymierne, jako pierwszy z konstruowanych w tym artykule rodzajów liczb, pozwalają wykonywać bez przeszkód cztery podstawowe działania arytmetyczne: dodawanie odejmowanie, mnożenie i dzielenie . W języku algebry mówimy, że liczby wymierne tworzą matematyka .php'>ciało Ciało liczb wymiernych jest tzw. matematyka .php'>ciałem prostym, tzn. nie posiada podzbiorów będących matematyka .php'>ciałami (oprócz samego siebie). Istnieją inne matematyka .php'>ciała proste – matematyka .php'>ciała reszt z dzielenia przez liczby pierwsze p. Okazuje się jednak, że oprócz liczb wymiernych i matematyka .php'>ciał reszt innych matematyka .php'>ciał prostych nie ma. Zostało to wykorzystane do zaksjomatyzowania zbioru liczb wymiernych :Drugi warunek można równoważnie sformułować jako matematyka .php'>ciało liczb wymiernych nie jest skończone.Można udowodnić, że dowolny zbiór spełniający te aksjomaty zawiera:Tym samym możemy stwierdzić, że niezależnie od konstrukcji, liczby naturalne i liczby całkowite są szczególnymi przypadkami liczb wymiernych, a ich zbiory zawierają się w zbiorze liczb wymiernych.Nieściśle mówiąc, liczby wymierne można skonstruować jako zbiór wszystkich takich par, gdzie pierwszy element pary jest liczbą całkowitą, a drugi niezerową liczbą całkowitą Ściśle: zbiór liczb wymiernych konstruujemy jako matematyka .php'>przestrzeń ilorazową relacji równoważności określonej warunkiem:Czyli .gdzie oznacza klasę abstrakcji zawierającą a znak < oznacza relację porządku w zbiorze liczb całkowitych. Klasy zapisujemy w postaci i nazywamy często ilorazem liczb a i b. Gdy b = 1 piszemy po prostu .Często powtarzana legenda podaje, że pierwszą odkrytą liczbą, nie będącą liczbą wymierną (powiemy później niewymierną), była długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym . Liczbę tę, , możemy jedynie obustronnie przybliżać wyrazami pewnego ciągu liczb wymiernych, nie da się jednak przedstawić jej przy pomocy matematyka .php'>stosunku liczb całkowitych. Innymi przykładami liczb o takiej własności są matematyka .php'>stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy, π, oraz podstawa logarytmu naturalnego e.Klasycznie istnieją trzy podejścia do formalnej definicji zbioru liczb rzeczywistych: pierwszy z nich to definicja aksjomatyczna, drugi (metoda Dedekinda) – przy pomocy tzw. przekrojów Dedekinda, trzeci (metoda Cantora) – za pomocą tzw. ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych.Formalnie liczby rzeczywiste można zdefiniować jako strukturę algebraiczną spełniającą następujące aksjomaty:Równoważne sformułowanie aksjomatu ciągłości można otrzymać używając przekrojów Dedekinda, podanych dalej.Alfred Tarski stworzył alternatywną, minimalistyczną aksjomatykę. Niech będzie zbiorem, < relacją w , + działaniem . Niech 1 będzie matematyka .php'>stałą W aksjomatach Tarskiego nie jest używane mnożenie. Udowodnił on jednak, że z tych aksjomatów wynika istnienie działania mnożenia, spełniającego wraz z dodawaniem aksjomaty matematyka .php'>ciała Niech będzie niepustym zbiorem takim, że między jego elementami określona jest relacja silnego porządku liniowego , którą będziemy nazywać relacją mniejszości.Przekrojem Dedekinda zbioru nazywamy parę zbiorów (A,B) taką, że oraz spełnione są następujące warunki Zbiór nazywamy klasą dolną, a zbiór klasą górną przekroju. Przekrój wyznaczony parą zbiorów oznaczamy .Aksjomat ciągłości Dedekinda można inaczej sformułować w następujący sposób:Przyjmijmy . Każdy przekrój Dedekinda tego zbioru można interpretować jako parę części wspólnych dwóch dotykających się półprostych i zbioru . Przy tym istnieją trzy możliwości:Ilustracja powyższych możliwości:W przypadku 3 mówimy, że przekrój wyznacza lukę – ponieważ równanie x2 = 2 nie ma rozwiązania w ciele liczb wymiernych, tym samym zbiór liczb wymiernych nie spełnia aksjomatu ciągłości Dedekinda Liczby rzeczywiste można zdefiniować jako przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych.Przekroje typu 1 i 2 nazywamy liczbami rzeczywistymi wymiernymi. Dwa przekroje typu 1 i 2 wyznaczające tę samą liczbę rzeczywistą wymierną uważamy za równe:Natomiast jeśli przekrój wyznacza lukę, to nazywamy go liczbą rzeczywistą niewymierną.Określmy oraz .Wykazuje się, że zbiór z działaniami i porządkiem określonymi jak w tabeli spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego oraz aksjomat ciągłości Dedekinda.Działania w tym zbiorze oznaczamy tak samo jak działania w zbiorze liczb wymiernych.Niech będzie zbiorem wszystkich odwzorowań zbioru liczb naturalnych w zbiór liczb wymiernych.Ciąg liczb wymiernych nazywamy ciągiem Cauchy'ego, gdyZbiór wszystkich ciągów Cauchy'ego, należących do oznaczmy . W zbiorze tym wprowadzamy relację równoważności ˜:Łatwo sprawdzić, że istotnie jest ona zwrotna, symetryczna i przechodnia Zbiór jest matematyka .php'>przestrzenią ilorazową . Wówczas możemy identyfikować ze zbiorem klas ciągów matematyka .php'>stałych Mówimy, że zanurzyliśmy w .Działania w przenoszą się na działania w , a więc także na . Dzięki temu możemy wprowadzić działania i porządek w , ograniczając się do reprezentantów. Niech .Wykazuje się, że definicja ta spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego i nie zależy od wyboru reprezentantów matematyka .php'>Ciało liczb rzeczywistych zawiera podciało, spełniające aksjomaty liczb wymiernych. Można zatem powiedzieć, że liczby wymierne są podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych Patrząc z drugiej strony, zbiór liczb wymiernych został przy tej konstrukcji uzupełniony o pewne nowe elementy Elementy te nazywamy liczbami niewymiernymi, a ich zbiór oznaczamy po prostu .Rozszerzanie liczb wymiernych za pomocą ciągów Cauchy'ego przy zmienionej definicji | a | w relacji ˜ prowadzi do zupełnie innego rodzaju liczb. Zobacz sekcję liczby p-adyczne.Oprócz zdefiniowanych wcześniej liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych warto wyróżnić:Liczby zespolone są jedynym skończeniewymiarowym przemiennym matematyka .php'>ciałem obejmującym liczby rzeczywiste różnym od matematyka .php'>ciała liczb rzeczywistych .Konstrukcja Cayleya-Dicksona jest metodą rozszerzania unormowanej matematyka .php'>przestrzeni liniowej przez tworzenie par jej elementów , a następnie definiowanie działań w następujący sposób: oznacza tu liczbę sprzężoną do , czyli taką, że Liczby zespolone można utworzyć za pomocą tej konstrukcji, zastosowanej do liczb rzeczywistych pamiętając, że dla liczb rzeczywistych , a norma jest wartością bezwzględną. Stosując tę samą konstrukcję do liczb zespolonych, dostajemy tzw. kwaterniony, następnie stosując ją do kwaternionów – oktoniony, a po zastosowaniu jej do oktonionów – sedeniony.Tym samym każda liczba zespolona jest konstruowana jako para liczb rzeczywistych Działania arytmetyczne na poziomie rachunków na liczbach zespolonych są równoważne wprowadzeniu dodatkowej liczby (tzw. jednostki urojonej ), posiadającej właściwość i utożsamieniu pary z sumą .Liczbę nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej i oznacza , a liczbę częścią urojoną i oznacza Liczby zespolone można interpretować jako punkty płaszczyzny z odpowiednio zdefiniowanym dodawaniem i mnożeniem. Jest to tzw. płaszczyzna zespolona, zwana czasem płaszczyzną Gaussa Dodawanie odpowiada wówczas przesunięciu o wektor (por. translacja), a mnożenie przez liczbę zespoloną o module równym 1 – obrotowi o pewien kąt wokół środka układu współrzędnych. Norma w tym przypadku to odległość euklidesowa od początku układu współrzędnych. Liczbę sprzężoną możemy interpretować jako odbicie lustrzane względem osi rzeczywistej (symetria osiowa względem prostej ).Płaszczyzna zespolona jest kolejną konstrukcją matematyka .php'>ciała liczb zespolonych.Oprócz zdefiniowanych wcześniej rodzajów liczb w ciele liczb zespolonych zawiera się ważne podciało: liczby algebraiczne. Są to liczby zespolone będące pierwiastkami pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Zbiór liczb algebraicznych z dodawaniem i mnożeniem tworzy matematyka .php'>ciało W przeciwieństwie do i jest jednak przeliczalny.W języku algebry możemy powiedzieć, że liczby algebraiczne to elementy algebraiczne matematyka .php'>ciała liczb zespolonych nad matematyka .php'>ciałem liczb wymiernych .Liczby zespolone nie będące liczbami algebraicznymi nazywamy liczbami przestępnymi. Należą do nich m.in. π oraz e.Liczby algebraiczne są w ogólności zespolone, ale wśród nich istnieją oczywiście także liczby rzeczywiste (w szczególności wszystkie liczby wymierne są algebraiczne). Nazywamy je po prostu rzeczywistymi liczbami algebraicznymi. Istnieje też nieskończona liczba matematyka .php'>ciał węższych od rzeczywistych liczb algebraicznych, lecz szerszych od liczb wymiernych, np. matematyka .php'>ciało liczb postaci gdzie .Istnieją też całkowite liczby algebraiczne. Nie oznacza to jednak przecięcia zbiorów liczb algebraicznych i liczb całkowitych , lecz liczby zespolone będące pierwiastkami wielomianu o współczynnikach całkowitych i współczynniku przy największej potędze x, równym 1 Liczby takie tworzą pierścień, gdyż suma, różnica i iloczyn dwóch całkowitych liczb algebraicznych daje również taką liczbę.Kwaterniony są jedynym skończeniewymiarowym pierścieniem z dzieleniem K, obejmującym matematyka .php'>ciało liczb zespolonych, w którym zachodzi aα = αa, dla wszystkich .Konstrukcja Cayleya-Dicksona może być zastosowana do liczb zespolonych. Dostajemy wówczas liczby, zwane kwaternionami. Każdą z nich można przedstawić w postaci h = a + bi + cj + dk, gdzie liczby 1 i, j, k mnożą się według poniższej tabeli:Kwaterniony nie tworzą zwykłego matematyka .php'>ciała gdyż ich mnożenie nie jest przemienne. Posiadają jednak wszystkie inne właściwości wymagane od matematyka .php'>ciała stąd czasem mówi się o ciele nieprzemiennym kwaternionów. Kwaterniony są jedynym możliwym rozszerzeniem matematyka .php'>ciała liczb zespolonych, zachowującym te właściwości.Stosując ponownie konstrukcję Cayleya-Dicksona, tym razem do kwaternionów, uzyskujemy tzw. oktawy Cayleya albo inaczej oktoniony.Liczba zespolona była parą liczb rzeczywistych kwaternion – czwórką, a oktawa jest ósemką liczb rzeczywistych Mnożenie oktonionów jest nie tylko nieprzemienne, ale także nie jest już łączne. Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad matematyka .php'>ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów Sedeniony powstają po zastosowaniu konstrukcji Cayleya-Dicksona do oktonionów. Sedeniony mają jeszcze gorsze właściwości algebraiczne – pojawiają się tzw. dzielniki zera, czyli istnieją wśród nich niezerowe liczby, których iloczyn jest zerem.Liczby zespolone, kwaterniony, oktoniony i sedeniony można było przedstawić w postaci zapisugdzie ri to liczby rzeczywiste a ei to różnego rodzaju matematyka .php'>stałe – jednostki urojone. Działania na liczbach były całkowicie określone przez iloczyny jednostek urojonych ei.Algebry Clifforda uogólniają te liczby, pozwalając na odmienne definicje tych iloczynów, przy czym w niezdegenerowanych algebrach Clifforda stosowanych do konstrukcji liczb przyjmuje się zawsze:Ogólnie algebra Clifforda jest wyznaczona przez formę kwadratową w n-wymiarowej matematyka .php'>przestrzeni wektorowej :Jeśli bazę matematyka .php'>przestrzeni wektorowej V stanowi zbiór , to bazę algebry Clifforda nad V stanowi zbiórDla n-wymiarowej matematyka .php'>przestrzeni V matematyka .php'>przestrzeń algebry Clifforda ma wymiar 2n Tak więc liczby tworzące algebry Clifforda nad matematyka .php'>ciałem liczb rzeczywistych składają się zawsze z 2n liczb rzeczywistych Na elementach ei bazy matematyka .php'>przestrzeni V zdefiniujemy mnożenie. Liczby p tych elementów których kwadraty są równe 1 oraz q elementów o kwadratach równych 1 określają z dokładnością do izomorfizmu całą wygenerowaną w ten sposób algebrę. Jest ona wówczas oznaczana Wiele spośród algebr Clifforda nad matematyka .php'>ciałem liczb rzeczywistych jest uważanych za odmiany liczb. Są to m.in.:Algebrę Clifforda osobliwej formy q(v) = 0 na matematyka .php'>przestrzeni V wymiaru 1 nazywamy algebrą liczb dualnych; ma ona szereg zastosowań, np. w geometrii.W algebrze abstrakcyjnej liczby zespolone, liczby dualne i liczby podwójne można zdefiniować jako pierścienie ilorazowe pierścienia wielomianów o współczynnikach rzeczywistych przez ideały generowane przez odpowiednie wielomiany:Liczby zespolone tworzą matematyka .php'>ciało gdyż (X2 + 1 jest ideałem maksymalnym matematyka .php'>Ciała liczb p-adycznych (dla p będących dowolnymi liczbami pierwszymi) są jedynymi możliwymi uzupełnieniami matematyka .php'>ciała liczb wymiernych według nietrywialnej normy nierównoważnej z wartością bezwzględną Liczby rzeczywiste konstruowaliśmy (zobacz) m.in. jako zbiory ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych o tej samej granicy Liczby rzeczywiste były klasami równoważności relacji ˜:W definicji tej występuje wartość bezwzględna | a | . Liczby p-adyczne dostaniemy, zmieniając ją na normę i , gdzie jest wykładnikiem przy liczbie pierwszej p w rozkładzie liczby wymiernej a na czynniki pierwsze.Liczby p-adyczne tworzą matematyka .php'>ciała matematyka .php'>Ciała dla dwóch różnych wartości p nie są jednak izomorficzne Liczby p-adyczne są używane w teorii liczb do rozwiązywania tzw. równań diofantycznych, czyli równań, w których niewiadome mogą przyjmować tylko wartości całkowite. W kryptografii tego typu równania są stosowane do łamania szyfrów.Innym niż liczby całkowite sposobem rozszerzenia pojęcia liczb naturalnych są tzw. liczby kardynalne Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, także nieskończone, jest tzw. moc zbioru. Dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeśli elementy zbioru A można połączyć w pary z elementami zbioru B, tak aby każdy element zbioru A i każdy element zbioru B były wykorzystane raz i tylko raz Na gruncie naiwnej (nieaksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że liczba kardynalna to klasa równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas moc zbioru to liczba kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest trochę złożona, bo tak zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, a klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na użycie klas, nie moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych należy więc ograniczać się do "fragmentów początkowych" klas równoważności i pokonać szereg technicznych komplikacji.Z tego powodu na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w nieco odmienny sposób: liczba kardynalna to tzw. początkowa liczba porządkowa, czyli taka liczba porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą (równoważnie: liczba porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem . Przy założeniu AC każdy zbiór jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.Działaniami na liczbach kardynalnych zajmuje się arytmetyka liczb kardynalnych Liczby kardynalne i opisane dalej liczby porządkowe nie tworzą w ogóle zbiorów. Założenie, że można utworzyć zbiór liczb kardynalnych lub porządkowych, prowadzi do sprzeczności .Kolejnym rozszerzeniem liczb naturalnych (a także kardynalnych ) są tzw. liczby porządkowe. Liczby naturalne są używane do kolejnego numerowania elementów skończonych zbiorów, np. pierwsze jabłko, drugie, itp. Georg Cantor uogólnił tak stosowane pojęcie liczb naturalnych na numerowanie elementów zbiorów o mocach większych od mocy zbioru liczb naturalnych.Niech i będą zbiorami uporządkowanymi. Powiemy, że odwzorowanie jest izomorfizmem porządków, jeśliJeśli istnieje izomorfizm porządkowy z M na N, to powiemy, że te porządki są izomorficzne Izomorficzne zbiory uporządkowane są nierozróżnialne na gruncie teorii porządku. Są też zawsze równoliczne.W początkach rozwoju teorii mnogości liczby porządkowe były definiowane jako klasy równoważności izomorfizmu zbiorów dobrze uporządkowanych. Podejście to było dość intuicyjne, jednak prowadzi ono do technicznych trudności przy formalizacji na gruncie ZF. Dlatego też współcześnie przyjmujemy definicję liczb porządkowych podaną przez Johna von Neumanna:Równoważnie – liczba porządkowa to taki zbiór α, który spełnia warunek (i) sformułowany powyżej i jest dobrze uporządkowany przez relację należenia (tzn. jest dobrym porządkiem).Każdy dobry porządek jest izomorficzny z pewną liczbą porządkową von Neumanna (na grunie ZF), więc można o tych liczbach myśleć jako o reprezentantach klas abstrakcji izomorfizmu dobrych porządków.Liczby porządkowe nie tworzą zbioru, lecz klasę właściwą . Działaniami na liczbach porządkowych zajmuje się arytmetyka liczb porządkowych.Liczby hiperrzeczywiste (ang. hyperreal numbers) są matematyka .php'>ciałem zawierającym w sobie liczby rzeczywiste liczby nieskończone oraz infinitezymalne (większe od zera, ale mniejsze od każdej rzeczywistej liczby dodatniej).Aksjomaty Keislera: Prawdziwe jest twierdzenie Keislera: Istnieje jedna i tylko jedna (z dokładnością do izomorfizmu struktura algebraiczna taka, że aksjomaty te są spełnione. Strukturę tę nazywamy algebrą liczb hiperrzeczywistych.Liczby hiperrzeczywiste można skonstruować jako nieskończone ciągi liczb rzeczywistych . Liczba rzeczywista zostaje utożsamiona z ciągiem matematyka .php'>stałym i tym samym liczby hiperrzeczywiste obejmują wszystkie liczby rzeczywiste Dodawanie jest zdefiniowane jako sumowanie kolejnych wyrazów ciągów:Podobnie mnożenie:Wprowadzenie porządku nie jest już tak proste i wymaga zdefiniowania pojęcia ultrafiltru. Ultrafiltr U to rodzina podzbiorów danego zbioru X, spełniająca następujące warunki:Niech będzie niegłównym ultrafiltrem na zbiorze liczb naturalnych z zerem.Wówczas Dwie liczby hiperrzeczywiste a i b są sobie równe, jeśli i .Z aksjomatu wyboru wynika, że istnieje nieskończenie wiele ultrafiltrów dla liczb naturalnych. Nie ma znaczenia, który wybierzemy, jeśli tylko będziemy się konsekwentnie tego trzymać, otrzymane algebry liczb hiperrzeczywistych będą izomorficzne Liczby nadrzeczywiste (ang. surreal numbers) są klasą teoria_kategorii .php'>obiektów spełniającą aksjomaty matematyka .php'>ciała która zawiera w sobie zarówno liczby rzeczywiste hiperrzeczywiste, jak i porządkowe. Tak jak liczby hiperrzeczywiste klasa ta zawiera również wielkości nieskończone oraz nieskończenie małe (infinitezymalne). Klasa liczb nadrzeczywistych oryginalnie została oznaczona No, jednak ze względu na podobieństwo do oznaczenia liczb naturalnych z zerem poniżej użyty został symbol F.Trójka jest systemem liczb nadrzeczywistych, jeśli:Funkcja urodzinowa reprezentuje w pewnym sensie kolejne generacje liczb nadrzeczywistych.Ich konstrukcja oparta jest na uogólnieniu idei przekrojów Dedekinda, zastosowanej przy konstrukcji liczb rzeczywistych Klasa liczb nadrzeczywistych wraz z porządkiem liniowym i funkcją urodzinową jest tworzona etapami, metodą indukcji pozaskończonej Para (L R reprezentuje liczbę nadrzeczywistą większą od każdej liczby w L i mniejszą od każdej liczby w R Działania arytmetyczneDodawanie jest w tej konstrukcji zdefiniowane następująco:Negacja liczby:Mnożenie:Wyprowadzenie wszystkich algebr liczbowych od liczb naturalnych do oktaw Cayleya włącznie, w sposób zrozumiały dla uczniów gimnazjum, znajduje się w książce: