Aksjomat wyboru

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jestElementami iloczynu kartezjańskiego są funkcje spełniące dla każdego . Aksjomat wyboru postuluje:Równoważne aksjomatowi wyboru są także tak zwany lemat Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować Aksjomat wyboru jest trywialny (i wynika z innych aksjomatów), jeśli zastosować go do skończonych rodzin zbiorów. W przypadku, kiedy mamy do czynienia z nieskończoną rodziną zbiorów, wydaje się również intuicyjny, lecz jego konsekwencje są zaskakujące. Na przykład Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC, udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli Mówi ono, że w matematyka .php'>przestrzeni euklidesowej R3 można podzielić kulę na skończoną liczbę części, z których da się złożyć dwie kule o takiej samej średnicy, co kula wyjściowa.Obecnie większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru Przy twierdzeniach, których dowód go wykorzystuje, przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt.Można również rozważać modele teorii mnogości (tzn. aksjomatów ZF), w których prawdziwa jest negacja aksjomatu wyboru Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji, jednak w wielu zastosowaniach wystarczających i nierzadko wygodniejszych.Te słabsze formy są często podobne do aksjomatu wyboru i tylko ograniczają rozważane rodziny niepustych zbiorów, np. do skończonych zbiorów (ACF), albo zakładają że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu Następujące postulaty wynikają oczywiście z ZFC:Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru ale mają całkowicie inną formę:(Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.)(Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii matematyka .php'>miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów matematyka .php'>miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF+PDC, czyli układjest niesprzeczny.)(Ten aksjomat wystarczy aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości twierdzenie Hahna-Banacha istnienie zbiorów niemierzalnych, i twierdzenie Tichonowa dla matematyka .php'>przestrzeni T2.)Prawdziwe są następujące ciągi implikacji: