Aksjomat sumy

26 103 jpg' alt='Aksjomat_sumy'>
Aksjomat sumy to jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermelo Fraenkela. Główny wniosek wynikający z tego aksjomatu jest taki, że suma zbiorów zawsze istnieje i jest też zbiorem.Dla dowolnych dwóch zbiorów A,B istnieje zbiór którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i który nie zawiera żadnych innych elementów Formalnie można to zapisać następująco:Z aksjomatu ekstensjonalności wynika ponadto istnienie co najwyżej jednego takiego zbioru. Istotnie gdyby C1,C2 były zbiorami istniejącymi na mocy aksjomatu sumy dla zbiorów A i B to:a zatem na mocy aksjomatu ekstensjonalności mamy C1=C2.Ten jedyny zbiór nazywamy sumą A i B i oznaczamy: .Dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór B taki, że dla dowolnego zbioru C, C jest elementem B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór D będący elementem A i którego elementem jest C. Formalnie:Analogicznie jak dla poprzedniego przypadku - stosując aksjomat ekstensjonalności można łatwo wykazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru, który nazywamy wtedy sumą (rodziny) A i oznaczamy Aksjomat sumy można też wypowiedzieć w następujący sposób: dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór którego elementamielementy elementów zbioru A i tylko one.