Aksjomat ekstensjonalności

Aksjomat ekstensjonalności - jeden z aksjomatów Zermelo-Fraenkela w aksjomatycznej teorii mnogości sformułowany przez Ernsta Zermelo w 1908 . Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne.Formalnie, aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu (gdzie jest binarnym symbolem relacyjnym) Aksjomat ekstensjonalności postuluje, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy to możemy sformułować ten aksjomat tak:Zatem każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy W szczególności jeśli jest formułą języka teorii mnogości i wiemy, że istnieje zbiór złożony ze wszystkich teoria_kategorii .php'>obiektów a, dla których jest spełnione , to zbiór ten jest wyznaczony jednoznacznie. Pisząc "" na oznaczenie tego zbioru, odwołujemy się także do aksjomatu ekstensjonalności Czasami aksjomat ekstensjonalności podaje się jako stwierdzenie, że relacja należenia jest ekstensjonalna. Przypomnijmy, że relacja dwuczłonowa R na zbiorze X jest ekstensjonalna, gdy następujący warunek jest spełniony:(Warto wspomnieć, że twierdzenie Mostowskiego o kolapsie stwierdza, że każda relacja dobrze ufundowana i ekstensjonalna jest izomorficzna z relacją należenia ograniczoną do pewnego zbioru przechodniego.)